bonjour mes amis est ce que vous pouvez m aider à resourdre cette inéquation et maerci ​

Bonjour ;

On a : (1 + 1/x)(1 + 1/y) = 1 + 1/y + 1/x + 1/(xy)

= (xy + x + y + 1)/(xy) = (xy + 2)/(xy) car x + y = 1 ;

= (x(1 - x) + 2)/(x(1 - x)) = (x - x² + 2)/(x - x²) car y = 1 - x .

Calculons maintenant : (1 + 1/x)(1 + 1/y) - 9 .

(1 + 1/x)(1 + 1/y) - 9 = (- x² + x + 2)/(-x² + x) - 9

= (- x² + x + 2 + 9x² - 9x)/(x(1 - x))

= (8x² - 8x + 2)/(x(1 - x)) = 4(4x² - 4x + 1)/(x(1 - x)

= 4(2x - 1)²/(x(1 - x)) .

4(2x - 1)²/(x(1 - x)) est du signe de x(1 - x) qui s'annule

pour x = 0 et x = 1 , et comme x(1 - x) = x - x² donc son coefficient

de second degré est - 1 < 0 , donc l'expression x(1 - x) est positive

pour x ∈ [0 ; 1} ; donc l'expression 4(2x - 1)²/(x(1 - x)) est positive

pour x ∈ ]0 ; 1[ car on a x ≠ 0 et y ≠ 0; donc l'ensemble des solutions

de l'inéquation est : S = {(x ; 1 - x) / x ∈ ]0 ; 1]} .