Bonjour ! J'aurai besoin d'aide pour cette question Soit x et y des nombres réels positifs strictement Montrer que : (x+y)(1/x+1/y)>=4 ​

Réponse :

Bonjour, désolé pour l'attente. OK la démonstration est la suivante:

Explications étape par étape

Soient x et y deux nombres réels strictement positifs; montrer que

[tex](x+y)(\frac{1}{x} +\frac{1}{y} )\geq 4[/tex]

Etudions le signe de la différence: [tex](x+y)(\frac{1}{x} +\frac{1}{y} )- 4\\\\=(x+y)(\frac{x+y}{xy})- 4\\\\=\frac{(x+y)^{2} }{xy}-4\\\\= (x+y)^{2} -4xy\\\\=x^{2} +2xy+y^{2} -4xy\\ \\=x^{2} -2xy+y^{2} = (x-y)^{2} \geq 0\\\\D'ou \ \ (x+y)(\frac{1}{x} +\frac{1}{y} )\geq  4[/tex]

Ainsi, on conclut que pour tous x et y strictements positifs (x+y)(1/x+1/y)>=4.

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#Nosdevoirs

Réponse :

bonjour

Explications étape par étape

1)

a)

(x+y)((1/x)+(1/y))=  (x+y)( 1/x)+(x+y)(1/y)

(x/x+y/x)+(x/y+y/y)

1+y/x+x/y+1

y/x+x/y+2

b)

y/x+x/y= y²/xy+x²/xy

(y²+x²)/xy

0<y≤x

y²+x² ≥ 2y²

xy≥ y²

(y²+x²)/xy ≥ 2y²/y²

(y²+x²)/xy≥2

(y²+x²)/xy+2≥2+2

(y²+x²)/xy +2≥4

(x+y)(1/x+1/y)≥4