Bonjour j’ai besoin d’aide pour calculer une somme et une espérance.

Réponse :

Salut !

Déjà on va utiliser une petite formule : si |x| < 1, alors on a,

[tex]\sum \limits_{n = 0}^{+\infty} x^n = \frac{1}{1-x}[/tex]

(tu peux le démontrer facilement, en passant par les sommes partielles, puis en faisant tendre n vers l'infini).

Du coup ça te donne la valeur de ta première somme, qui vaut... 2-1 = 1 (d'ailleurs c'est plutôt une bonne nouvelle si tu veux définir une variable aléatoire à valeurs dans N).

Pour la question 2, tu as la formule,

[tex]\sum \limits_{n = 1}^{+\infty} nx^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}[/tex]

Donc, si tu fais le calcul,

[tex]\mathbb E(X) = \sum \limits_{k=1}^{+\infty} \frac{k}{2^k} = \frac 12 \cdot 4= 2[/tex]

Explications étape par étape