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Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

1)

a) la limite en -∞ est -1

   la limite en +∞ est +∞

b) g'(x) = e^x +(x-1)e^x = e^x(x-1+1) = x e^x

Donc g'(x) ≤ 0 sur ]-∞ ; 0] et g'(x) ≥ 0 sur [0 ; +∞[

Donc g(x) est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[

compléter le tableau avec les limites et f(0) = -2

2) g est continue décroissante sur ]-∞ , 0] , à valeur sur ]-1 ; -2] ; l'équation g(x) = 0 n'a donc pas de solution sur cet intervalle

   g est continue et strictement croissante sur [0 ; +∞[ , à valeur sur [-2 ; +∞[ ; d'après un corollaire au théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g(x) = 0 admet une solution unique cet intervalle.

On obtient sur la calculatrice 1,27<∝<1,28

b) On a donc : g(x) ≤ 0 sur ]-∞ ; ∝] et g(x)≥0 sur [∝ ; +∞[

partie B

1) lim en -∞ = -∞

  lim en +∞ = 0 (croissances comparées)

la droite d'équation y = 0 est donc asymptote horizontale à la courbe Cf en +∞

2) a) f'(x) = (e^x+1 -xe^x)/(e^x + 1)² = ((1-x)e^x + 1)/(e^x +1)² = -g(x)/(e^x +1 )²

on a (e^x + 1)² >0 (un carré est toujours positif dans R)

le signe de f'(x) dépend donc de -g'(x)

On a vu dans la partie A que g(x)≤ sur ]-∞ ; ∝] et g(x) ≥ 0 sur [∝ ; +∞[

  donc -g(x) ≥ 0 sur ]-∞ ; ∝] et -g(x) ≤ 0 sur [∝ ; +∞[

  donc f'(x) ≥ 0 sur ]-∞ ; ∝] et f'(x) ≤ 0 sur [∝ ; +∞[

donc f(x) est croissante sur ]-∞ ; ∝] et croissante sur [∝ ; +∞[

3) f'(0) = 1/2  et f(0) = 0

L'équation de la tangente au point d'abscisse 0 est donc

y =1/2(x-0) + 0 ⇔ y = 0,5x