Bonjour pouvez vous m'aider pour un exercice de maths merci a)effectué la décomposition en facteur premier des entier 546et429 b)rendre irréductible la fractio
Question
a)effectué la décomposition en facteur premier des entier 546et429
b)rendre irréductible la fraction
2) pour les fêtes de fin d'année ,un chocolatier vient de fabriquer 546 pâtes de fruit et 429 chocolat. Il souhaite vendre des assortiment de chocolat et de pâte de fruit de façon que:tous les paquets aient la même composition
Après mise en paquets,il reste ni chocolat ni pâte de fruit
a)le chocolatier peut til faire 11paquets?justifier
b) quels est le plus grand nombre de paquets qu'il peut réaliser ? Dans ce cas quelle sera la composition de chaque parquet ?
Merci de votre réponse
2 Réponse
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1. Réponse Vins
bonjour
546 = 2 x 3 x 7 x 13
429 = 3 x 11 x 13
PGCD = 3 x 13 = 39
plus grand nombre de paquets = 39
546 : 39 = 14 pâtes de fruits
429 : 39 = 11 chocolats
546 est non divisible par 11 donc il ne peut pas faire des paquets de 11
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2. Réponse Hasyata
Bonjour !
1)a) 546 / 2 = 273 ; 273 / 3 = 91 ; 91 / 7 = 13 ; 13 / 13 = 1
Donc 546 = 2 * 3 * 7 * 13
429 / 3 = 143 ; 143 / 13 = 11 ; 11 / 11 = 1
Donc 429 = 3 * 11 * 13
b) Laquelle ? Si tu parle de la fraction 249 / 546, alors:
249 / 246 = (3*11*13) / (2*3*7*13) = 11 / (2*7) = 11 / 14
2) a) Imaginons que oui : alors cela veut dire que l'on peut diviser 429 et 546 par 11.
11 est un nombre premier, cela veut dire qu'un nombre multiple de 11 aura obligatoirement 11 dans sa décomposition en nombres premiers.
Donc 429 se divise par 11, mais pas 546.
Le chocolatier ne peut donc pas faire 11 paquets.
b) pour trouver le nombre maximal de paquets que l'on peut faire, il faut faire le PGCD de 429 et 546.
Maintenant réfléchissons : si on décompose ce PGCD en nombres premiers, alors les nombres qu'on obtiendra seront aussi présents dans la décomposition de 429 et dans la décomposition de 546. En effet : imaginons que la décomposition de 429 donne
a * b où a et b sont des nombres premiers (c'est un exemple bien sûr)
Et que la décomposition de notre PGCD soit c * b, où c est aussi un nombre premier, mais qui n'est pas présent dan la décomposition de 429, donc qui n'est pas égal à a.
On sait que la division de 429 par le PGCD donne un nombre entier.
Donc si on essayait de simplifier la fraction 429 / PGCD, cela donnerait :
QuelqueChose / 1 (vu que la division donne un nombre entier)
Maintenant, simplifions cette fraction :
429/PGCD = a*b / c*b = a/c.
Donc, c est soit égal à 1, soit à... a, ce qui contredit la règle de notre exemple.
Mais revenons à notre PGCD.
Les termes de sa décomposition en nombres premiers sont donc tous présents dans la décomposition en nombres premiers de 429 et 546. Et comme le PGCD est par définition le PLUS GRAND commun diviseur, cela veut dire que sa décomposition contient tous les nombres premiers présents dans les deux décompositions de 429 et 546. (exemple : nombre 1 = 3*3*7, nombre 2 = 2 * 3 * 7, donc PGCD = 3 * 7).
Donc PGCD(429;546) = 3 * 13 = 39
Le nombre maximal de paquets que l'on peut faire est donc 39.
Et donc il y aura 546 / 39 = 14 pâtes de fruit et 429 / 39 = 11 chocolats.
Voilà, j'espère t'avoir aidé.