Bonjour, je poste ici mon exercice. après avoir beaucoup chercher je n'ai rien trouvé de concluant On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[
Question
On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[ par f(x) = [tex]\frac{3}{2} x^{2} -x^{2} ln(x)+1[/tex]
1. Déterminer la limite de f en 0 (on admet que la limite en 0 de la fonction xx->xln(x) est 0)
2.Déterminer la limite en f en +∞ ( on poura mettre x² en facteur dans l'expression de f(x) )
3. on désigne par f' la fonction dérivée de f
a) Montrer que, pour tout x de ]0;+∞[, f'(x)=2x(1-ln(x)
b) Etudier le signe de f'(x) suivant les valeurs de x
4.Etablir le tableau de variation de f
5. a) Justifier que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution ∝ dans l'intervalle ]0; +∞[
b) Déterminer un encadrement en ∝ d'amplitude [tex]10^{-1}[/tex]
6) On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormée (O, I, J) d’unité 1 cm
Tracer la courbe C ( faire figurer le point A de C d'abscisse ∝ ainsi que la tangente à C au point d'abscisse 1 )
Merci beaucoup pour tout ceux qui prendront le temps de m'aider, je vais continuer a essayer de résoudre se problème de mon cote.
1 Réponse
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1. Réponse croisierfamily
Réponse :
Explications étape par étape :
■ f(x) = 1,5x² - x² Lnx + 1 à étudier sur IR+
■ pour x tendant vers zéro :
Lim f(x) = +1
■ pour x tendant vers l' infini :
Lim f(x) = Lim x²(1,5 - Lnx) + 1 = -∞
■ dérivée :
f ' (x) = 3x - x - 2x Lnx = 2x - 2x Lnx = 2x (1 - Lnx)
dérivée positive pour Lnx < 1
x < e
( e ≈ 2,718 )
■ tableau :
x --> 0 1 2 e 3 4 4,69 5 10 +∞
varia -> ║ + | -
f(x) --> ║ 2,5 4,2 4,7 4,6 2,8 0 -1,7 -79 -∞
■ recherche de l' abscisse de A :
f est décroissante pour x > e ; f(4) ≈ 2,8 > 0 ; f(5) ≈ -1,7 < 0
donc il existe bien une valeur a ( comprise entre 4 et 5 )
telle que f(a) = 0
cette valeur de a est voisine de 4,69
4,6 < a < 4,7 .
■ tangente au point B (1 ; 2,5) :
f ' (1) = 2 donc l' équation de cette tgte est y = 2x + 0,5 .
cette tgte passe par B et par le point E (0 ; 0,5)
■ le tracé de la courbe ne pose pas de souci !