Soit Ω l'univers associé à une expérience aléatoire, A et B deux évènements de Ω. Sachant que: 1.p(A)=3/5 , p(B)=6/7 et p(A union B)=8/9 , calculez p(A inter B)

Bonjour,

1.p(A)=3/5 , p(B)=6/7 et p(A union B)=8/9 , calculez p(A inter B)

[tex]p(A\ \cup\ B)=p(A)+p(B)-p(A\ \cap\ B)\\\\\dfrac{8}{9}=\dfrac{3}{5}+\dfrac{6}{7}-p(A\ \cap\ B)\\\\p(A\ \cap\ B)=\dfrac{3}{5}+\dfrac{6}{7}-\dfrac{8}{9}\\\\p(A\ \cap\ B)=\dfrac{189}{315}+\dfrac{270}{315}-\dfrac{280}{315}\\\\p(A\ \cap\ B)=\dfrac{179}{315}[/tex]

2) Si A et B étaient incompatibles, alors  on aurait  [tex]p(A\ \cap\ B)=0[/tex]  et 
[tex]p(A\ \cup\ B)=p(A)+p(B)[/tex]

Or [tex]p(A)+p(B)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{6}{7}\\\\p(A)+p(B)=\dfrac{7}{21}+\dfrac{18}{21}\\\\p(A)+p(B)=\dfrac{25}{21}>1[/tex]

Donc A et B ne peuvent pas être incompatibles et nous aurions la formule [tex]p(A\ \cup\ B)=p(A)+p(B)-p(A\ \cap\ B)[/tex]   avec   [tex]p(A\ \cap\ B)\neq0[/tex]