Bonjour vous pouvez m'aider pour mon devoir s'il vous plaît.

Réponse :

1a.

Si An est l'aire noircie, alors 1-An est l'aire verte restante.

Ainsi

Aₙ₊₁ = Aₙ + [tex]\frac{1}{9}[/tex](1 - Aₙ)

Aₙ₊₁ = [tex]\frac{8}{9}[/tex]Aₙ + [tex]\frac{1}{9}[/tex

1b. voir photo

A5 = 0.445

A10 = 0.629

A25 = 0.947

A50=0.997

1c. La suite (An) semble croissante. Elle semble tendre vers 1.

Bn+1 = An+1  - 1

Bn+1 = 8/9An + 1/9 - 9/9

Bn+1 = 8/9An - 8/9

Bn+1 = 8/9(An - 1)

Bn+1 = 8/9Bn

Bn+1 / Bn = 8/9 avec Bn non nul.

Ainsi la suite (Bn) est géométrique de raison 8/9 et de terme initial B1 = A1 - 1 = -8/9

2b.

Bn = B1×qⁿ⁻¹

Bn = - [tex]\frac{8}{9} (\frac{8}{9})[/tex]ⁿ⁻¹

Bn = -[tex](\frac{8}{9} )[/tex]ⁿ

2c.

An = Bn + 1

An = 1  - [tex](\frac{8}{9} )[/tex]ⁿ

2d.

An+1  - An = 1  - [tex](\frac{8}{9} )[/tex]ⁿ⁺¹ - 1 + [tex](\frac{8}{9} )[/tex]ⁿ

An+1 - An = [tex](\frac{8}{9} )[/tex]ⁿ- [tex](\frac{8}{9} )[/tex]ⁿ⁺¹

An+1 - An = [tex](\frac{8}{9} )[/tex]ⁿ(1-[tex]\frac{8}{9}[/tex])

An+1 - An = [tex]\frac{1}{9}[/tex]× [tex](\frac{8}{9} )[/tex]ⁿ

Ainsi An+1 - An > 0 donc la suite (An) est croissante pour tout n > 0

Lim -(8/9)ⁿ = 0 car lim qⁿ=0 avec 0<q<1

n→+∞                     n→+∞

lim(Bn)=0 soit    lim(An -1 ) = 0 ainsi  lim(An) = 1

n→+∞                  n→+∞                        n→+∞

3. A la calculatrice avec un tableau de valeur on a :

An > 0.8 pour n ≥14

An > 0.95 pour n ≥ 26

An > 0.99 pour n ≥ 40

Explications étape par étape