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Réponse :

Exercice 1 :

1) Décomposition en produit de facteurs premiers :

  68 = 2 x 2 x 17 = 2²x 17

  96 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 2 exposant 5 x 3

  180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 2² x 3² x 5

2) Transformation en fractions irréductibles :

   96  = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 =  24  Je barre le 1er 2 au nominateur et

   68     2 x 2 x 17                        17    le 1er 2 au dénominateur, ensuite

                                                            je barre le 2ème 2 au nominateur et

                                                            le 2ème 2 au dénominateur et il me

                                                            reste donc au nominateur : 2 x 2  x 2

                                                            x 3 qui donne 24 et il me reste au

                                                            dénominateur : seul 17

180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5        = 15         Je barre le 1er 2 au nominateur et le 1er

 96    2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3     8          2 au dénominateur, ensuite je barre le

                                                            le 2ème 2 au nominateur et le 2ème 2

                                                            au dénominateur, ensuite je barre le 1er                          

                                                            3 au nominateur et le seul 3 que j'ai au

                                                            dénominateur et il me reste au              

                                                            nominateur 3 x 5 qui donne 15 et il me

                                                            reste au dénominateur 2 x 2 x 2 qui        

                                                            donne 8.

68 = 2 x 2 x 17            =   17              Tu fais pareil que pour les 2 premiers :

180   2 x 2 x 3 x 3 x 5       45              donc il te reste 17 au nominateur et

                                                            il te reste 3 x 3 x 5 = 45 au dénomina-

                                                            - teur.

Exercice 2 :

1. Comme tous les paquets doivent avoir la même composition et qu'après la mise en paquet, il ne reste ni oeuf, ni poisson, le nombre de paquets doit être un diviseur de 2622 et 2530.

2622 = 138

 19

2530 = 133,15...

 19

19 n'est pas un diviseur de 2530 donc le chocolatier ne peut pas faire 19 paquets.

2. Pour faire le plus grand nombre de paquets, il faut prendre le plus grand nombre parmi les diviseurs communs à 2622 et 2530 donc le PGCG de 2622 et 2530 :

2622 = 2 x 3 x 19 x 23

2530 = 2 x 5 x 11 x 23

donc PGCD (2622 ; 2530) = 2 x 23 = 46

Le plus grand nombre de paquets que le chocolatier peut réaliser est 46.

La composition de chaque paquet sera de :

2530 = 55 poissons en chocolat

 46

2622  = 57 oeufs de Pâques.

 46

Exercice 3 :

1. Conjecture

   a. En prenant 5 comme nombre de départ :

      (5 x 5) - 1 = 25 - 1 = 24

       En prenant 13 comme nombre de départ :

     (13 x 13) - 1= 169 - 1 = 168

 b. En choisissant moi-même 7 comme nombre premier :

     (7 x 7) - 1 = 49 - 1 = 48

 c. Grâce à ce programme, n'importe quel nombre premier que l'on utilise donne un résultat qui est un multiple de 4

2. Démonstration

a. (p x p) - 1

 = p² - 1

b. Factorisation de p² - 1 :

(p - 1) (p + 1)

c. Explication de p-1 et p+ 1 = nombres pairs :

 p est un nombre premier différent de 2 donc p est un nombre impair  d'où

(p - 1) est pair et (p + 1) est pair aussi.

d. (p - 1) et (p + 1) sont deux nombres pairs consécutifs et dans deux nombres pairs consécutifs il y a un multiple de 4.

Conclusion : (p-1)(p+1) forme un multiple de 4.

Explications étape par étape