Merci de m’aider. La suite (Un) est définie par : Un = 2n – 1 / n + 3 Calculer U0  ; U1  ; U2 ; U3 . Calculer U(n+1) - Un et en déd

Réponse :

U0 = -1/3

U1 = 1/4

U2 = 3/5

U3 = 5/6

Un+1 - Un = 7/(n+3)/(n+7) > 0

Donc (Un) est strictement croissante pour tout entier naturel n.

ou encore (Un) est monotone pour tout entier naturel n.

U100 = 199/103 ≅ 1.932

U1000 = 1999/1003 ≅ 1.993

U10000 = 19999/10003 ≅ 1,999

Nous pouvons conjecturer que (Un) converge (ou admet pour limite) vers 2, lorsque n tend vers +∞;

Explications étape par étape

Réponse :

Un = (2 n - 1)/(n+3)

calculer U0 ; U1 ; U2 ; U3

U0 = - 1/3

U1 = 1/4

U2 = 3/5

U3 = 5/6

calculer Un+1 - Un et en déduire la monotonie de (Un)

Un+1 - Un = (2(n+1) - 1)/((n+1) + 3)  - (2 n - 1)/(n+3)

                = (2 n + 2 - 1)/(n + 4) -  (2 n - 1)/(n+3)

                = (2 n + 1)/(n + 4) - (2 n - 1)/(n+3)

                = [(2 n + 1)(n+3) - (2 n - 1)(n + 4)]/(n+4)(n+3)

                = (2 n² + 7 n + 3 - 2 n² - 7 n + 4)/(n+4)(n+3)

                = 7/(n+4)(n+3)

(n+4) > 0 et (n+ 3) > 0 ; (n+4)(n+3) > 0  et  7 > 0

Donc Un+1 - Un > 0  donc (Un) est strictement croissante    

Explications étape par étape