soit K est un entier naturel a. demontre que si k est impair alors 8 divise k²-1 b. le nombre 1+3^k est il toujours pair? c. demontre que 2^k+2^k+1 est divisib

un nombre impair a une puissance quelque-chose est toujours impair car peut toujours être exprimer comme sommes de ce nombre : exemple

5²=5x5=5+5+5+5+5

Donc K est impair implique que K² est impair d'où K²-1 est pair donc K²-1 est divisible par 8 si K²-1>8 (ce qui est souligné n'est pas sûr)

Comme je l'ai dit, un nombre impair à une puissance quelque-chose est toujours impair

donc 3^K est impair d'où 1+3^K est bien pair

2^k+2^k+1 est divisible par 3 car 2^k est toujours pair donc la somme de deux nombres pairs est tj pair d'où 2^k+2^k+1 est impair

de plus au minimum 2^k+2^k+1 = 1 pour k = 0 donc 2^k+2^k+1 est divisible par 1

a)k est impair => k² est impair => k²-1 est pair et divisible par 8 <=> k²-1≥8 soit k≥3

donc ∀k impair et ≥3, (k²-1)/8=multiple de 8

b)3 est impair => 3^k est impair => 3^k+1 est pair

donc ∀k≥0, 3^k+1=nombre pair

c)2⁰+2⁰+1=1+1+1=3 => divisible par 3

2¹+2¹+1=2+2+1=5 => non divisible par 3

2²+2²+1=4+4+1=9 => divisible par 3

2³+2³+1=8+8+1=17 => non divisible par 3

2⁴+2⁴+1=16+16+1=33 => divisible par 3

∀k pair et ≥0, 2^k+2^k+1=multiple de 3