bonjour je dois déterminer les variations de la suite Un = n^3 / 2^n j’ai trouvé Un+1 - Un et Un+1 / Un mais je n’arrive pas à déterminer les variations estcequ

Réponse :

J'ai étudié la fonction qui à x associe x^3 / 2^x.

Pour le calcul de la fonction dérivée, j'ai écris au préalable 2^x = e^(x ln2)

( x^3 / 2^x)' = x² (3 - x ln2) / 2^x

On travaille a priori sur des valeurs positives de x.

La dérivée s'annule et change de sens pour x = 3 / ln2 ≈ 4,328

Dérivée positive entre 0 et 3 / ln2

Fonction croissante sur cet intervalle.

Dérivée négative pour x > 3 / ln2

Fonction décroissante sur ]3/ln2 ; +∞[

A partir de n = 4, on a Un+1 - Un < 0, la suite est décroissante pour tout n ≥ 4.

La suite est croissante pour les valeurs de n < 4.