Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour cet exercice de mathématique. On veut déterminer la position relative de la courbe de la fonction racine carrée et de la dro
Question
On veut déterminer la position relative de la courbe de la fonction racine carrée et de la droite d’équation y = x, pour x positif.
Pour cela on étudie le signe de la fonction f définie sur [0 ; + ∞ [ par f(x) = x - √x.
1) Montrer que f(x) = √x (√x - 1)
2) Voici la représentation graphique de la fonction racine carrée. À l’aide de la courbe, résoudre graphiquement l’inéquation √x ≥ 1.
3) Reproduire et compléter le tableau de signe suivant :
En déduire l’ensemble S des solutions de f(x) ≥ 0
4) Grâce au tableau de signe de la question précédente, déterminer la position relative de la droite d’équation y = x et de la courbe de la fonction racine carrée, pour x positif.
Autrement dit, dire pour quelles valeurs de x, la courbe de la fonction racine carrée est au- dessus (respectivement en dessous) de la droite d’équation y = x .
5) Comparer les nombres suivants :
a) 2 et √2
b) √2 et √(√2)
c) 1/2 et 1/√2
1 Réponse
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1. Réponse croisierfamily
Réponse :
Explications étape par étape :
■ bonne année !
■ f(x) = (√x)² - √x = √x (√x - 1) à étudier sur IR+
■ f(x) ≥0 donne √x - 1 ≥ 0 donc √x ≥ 1 d' où x ≥ 1 .
remarque : on a aussi f(0) = 0
■ tableau de variation :
x --> 0 0,25 1 4 9 16 25 +∞
varia -> | croissante
f(x) --> 0 -0,25 0 2 6 12 20 +∞
| négative | positive
Tu es certainement capable de remplir le tableau de signes !
■ remarque sur la dérivée :
f ' (x) = 1 - 0,5/√x = (√x - 0,5) / √x
cette dérivée est nulle pour √x = 0,5 donc x = 0,25
■ conclusion :
f(x) ≥ 0 donne x ≥ √x donc la représentation graphique de la fct
"racine carrée" est toujours sous la droite d' équation y = x pour x > 1 .
Mais la fonction "racine carrée" est au-dessus de la droite pour 0 < x < 1 . Les courbes ont 2 points d' intersection : J (0 ; 0) et K (1 ; 1) .
■ 2 > √2 car √2 ≈ 1,414
√2 > √(√2) car 1,414 > 1,189
0,5 < 1/√2 car 0,5 < 0,707