Bonjour je suis bloqué sur cette question sur les complexes On considère le polynôme P(z) = z⁴-2z³-2z-1 Les nombres i, 1+i, (1-i)/(1+i), (3-i)/(1+3i) sont-ils d

bjr

P(z) = z⁴ - 2z³ - 2z - 1

1)

i est une racine de P(z) si et seulement si p(i) = 0

on remplace z par i

i      ;      i² = - 1      ;      i³ = - i      ;    i⁴ = 1

(compte tenu de ces résultats on calcule normalement)

P(i) = 1 - 2(-i) -2i - 1 = 1 + 2i - 2i - 1 = 0

réponse : i est une racine de P(z)

2)

1 + i ?

(1 + i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i - 1 = 2i

(1 + i)³ =  2i(1 + i) = 2i + 2i² =  2i - 2

(1 + i)⁴ = [(1 + i)²]² = (2i)² = 2² i² = - 4

P(1 + i) = - 4 - 2(2i - 2) - 2(1 + i) - 1 =

             - 4 - 4i + 4 - 2 - 2i - 1 =

             - 6i - 3

P(1 + i) n'est pas nul

1 + i n'est pas une racine

3)

(1 - i)/(1 + i)  on multiplie les deux termes par le conjugué du dénominateur

(1 - i) / (1 + i) = (1 - i)² / (1 + i)(1 - i) =

                     (1 - 2i + i²) / (1 - i²) =

                     (1 - 2i - 1) / (1 + 1) =

                          -2i /2 =

                          -i

on calcule (-i)² ; (-i)³ ; (-i)⁴  et on remplace dans le polynôme

4)

(3 - i) / (1 + 3i) = (3 - i)(1 - 3i) / (1 + 3i)(1 - 3i)

                     = (3 -9i - i + 3i²) / [1 - (3i)²]

                    = (3 - 10i - 3)/ (1 - 9i²)

                    = - 10i / (1 + 9)

                    = - 10i / 10

                    = - i    (déjà étudié)