Bonjour, J'ai besoin d'aide pour mon devoir maison de mathématiques dont voici l'énoncé : Une usine automobile construit des pièces pour des moteurs grâce à une
Question
J'ai besoin d'aide pour mon devoir maison de mathématiques dont voici l'énoncé :
Une usine automobile construit des pièces pour des moteurs grâce à une machine qui ne peut réaliser plus de 1000 pièces par mois. Le coût de fabrication par mois, en centaines d'euros, de x centaines de moteurs est déterminée grâce à la fonction f définie sur [0;10] par f(x) = x+3-e^-x+0,5
1) Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur [0;10].
2) Le prix d'une pièce fabriquée par cette machine s'élève à 2€.
a) Exprimer en fonction de x, la recette perçue pour la vente de x centaines de pièces.
b) Montrer que le bénéfice obtenu, en centaines d'euros, par la vente de x centaines de pièces est donnée par : B(x)=x-3+e^-x+0.5.
3) Pour tout x dans [0;10], calculer B'(x).
4) Résoudre dans l'intervalle [0;10], l'inéquation 1-e^-x+0.5≥0
5) En déduire le signe de B'(x) sur l'intervalle [0;10] et dresser le tableau de variations de la fonction B sur cet intervalle.
6) a) Montrer que l'équation B(x)=0 admet une unique solution β sur l'intervalle [1;10].
b) Donner un encadrement de β à 10^-2 près par la méthode de votre choix.
c) Déterminer pour quelles quantités de pièces produites et vendues par mois cette usine dégage un bénéfice.
Merci d'avance !
1 Réponse
-
1. Réponse croisierfamily
Réponse :
l' usine commence à dégager un Bénéf pour 3 centaines de pièces,
et elle dégagera un Bénéf maxi pour 10 centaines de pièces
( = 1000 pièces ) .
Ce Bénéf maxi sera de 7 centaines d' €uros ( = 700 €uros )
Explications étape par étape :
■ 1000 pièces/mois = 10 centaines de pièces .
■ Coût = f(x) = x + 3 - exp(0,5 - x) sur [0 ; 10]
■ 1°) dérivée f ' (x) = 1 + exp(0,5 - x) toujours positive
donc f est toujours croissante !
■ 2a) Recette pour 1 centaine de pièces = 2 €
donc R(x) = 2x
■ 2b) Bénéf = Recette - Coût ♥
B(x) = 2x - x - 3 + exp(0,5 - x)
B(x) = x - 3 + exp(0,5 - x)
■ 3°) B ' (x) = 1 - exp(0,5 - x)
■ 4°) cette dérivée est positive pour :
exp(0,5 - x) < 1
0,5 - x < 0
0,5 < x
■ 5°) tableau :
x --> 0 0,5 1 2,91o2 3 10
B ' (x) -> - 0 +
�� varia -> décroiss | croissante
B(x) --> -1,35 -1,5 -1,4 0 0,1 7
■ 6a) comme B est croissante pour x > 0,5
B(2,8) = -0,1
B(3) = 0,1
on peut affirmer que la valeur cherchée de b est telle que :
2,8 < b < 3
■ 6b) par tâtonnement ( dichotomie ) :
2,91 < b < 2,92
■ 6c) conclusion :
l' usine commence à dégager un Bénéf pour 3 centaines de pièces,
et elle dégagera un Bénéf maxi pour 10 centaines de pièces
( = 1000 pièces ) .
Ce Bénéf maxi sera de 7 centaines d' €uros ( = 700 €uros )