Bonjour, je vous demande de l'aide pour ce DM, je n'ai pas la leçon et j'aurai besoin d'explications.

Réponse :

Partie A

on considère l'équation : 51 x - 26 y = 1   où x et y  sont des entiers relatifs

1) Justifier, que cette équation admet au moins un couple solution

décomposons  51 et 26  en produit de facteurs premiers

51 = 3 x 17

26 = 2 x 13

on constate que les deux nombres 51 et 26 n'ont pas de facteurs communs, donc ils sont premiers entre eux  c'est à dire que leur pgcd(51 ; 26) = 1

  D'après le théorème de Bezout, il existe deux entiers relatifs  u et v tels que  51 u + 26 v = 1   avec  x = u  et y = - v  qui sont deux entiers relatifs tel que 51 x - 26 y = 1

Donc 51 u + 26 v = 1 admet au moins une solution car 1  est un multiple de

1 = pgcd(51 ; 26)

2) a) donner un couple solution de cette équation

51 x - 26 y = 1  ⇔ 51 x (- 1) - 26 x (- 2) = 1 ⇔ - 51 + 52 = 1  donc le couple  

(- 1 ; - 2) vérifie l'équation, ce couple solution est (x₀ ; y₀)

   b) déterminer l'ensemble des couples solution de cette équation

soit (x ; y) un couple solution qui sont des entiers relatifs

donc on écrit : 51 x - 26 y = 1 ⇔ 51 x - 26 y = 51 x₀ - 26 y₀⇔ 51 x - 5 x0 = 26 y - 26 y0  ⇔ 51(x - x0) = 26(y - y0)

puisque 51 et 26 sont premiers entre eux, donc 26 divise x - x0

donc d'après le théorème de Gauss;  il existe un entier relatif  k tel que

x - x0 = 26 k  soit  x = x0 + 26 k

il existe aussi un entier relatif k' tel que y - y0 = 51 k'   soit  y = y0 + 51 k'

on remplace x0 et y0 trouvés à la question 2.a1  

on obtient  x = - 1 + 26 k  et y = - 2 + 51 k'

donc on remplace x et y dans l'équation de départ

51 x - 26 y = 1 ⇔ 51(x0 + 26 k) - 26(y0 + 51 k') ⇔ 51 x 26(k - k') = 0

⇔ k = k'

les couples solutions sont (- 1+26 k ; - 2 + 51 k)  avec k ∈Z  

Explications étape par étape