Bonjour vous pouvez m'aidez pour l'exercice 3 Marci de m'aide.

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

Exo 3 :

1)

f(x)=(x²+2x+1) / (x²+2x+1)=x²(1+2/x+1/x²) / x²(1+2/x)

On simplifie par x ≠ 0 au voisinage de l'infini.

f(x)=(1+2/x+1/x²) / (1+2/x)

Au voisinage de l'infini, 2/x et 1/x² tendent vers zéro..

Donc , au voisinage de l'infini , f(x) tend vers 1/1=1

Lim f(x)=1

x--->+ ou - infini.

2)

Quand x tend vers -2 , le numérateur de f(x) tend vers 1 qui est > 0. OK

Quand x tend vers - 2 avec x < -2 , alors le déno tend vers zéro par valeurs positives .

Donc :

lim f(x)=+inf

x--->-2

x < -2

Quand x tend vers - 2 avec x >  -2 , alors le déno tend vers zéro par valeurs négatives  .

lim f(x)=-inf

x--->-2

x > -2

Même type de démonstration pour x qui tend vers zéro.

Quand x tend vers 0 , le numérateur de f(x) tend vers 1 qui est > 0. OK

Quand x tend vers 0 avec x < 0, alors le déno tend vers zéro par valeurs négatives .

lim f(x)=-inf

x--->0

x < 0

Et tu montres que :

lim f(x)=+inf

x--->0

x >  0

3)

On a une asymptote horizontale : y=1

Et deux asymptotes verticales :

x=-2 et x=0

4)

f est de la forme u/v avec :

u=x²+2x+1 donc u '=2x+2

v=x²+2x donc v '=2x+2

f '(x)=[(2x+2)(x²+2x)-(x²+2x+1)(2x+2) ] / (x²+2x)²

Je dévelppe seulement le numé rateur N :

N=(2x+2)[(x²+2x)-(x²+2x+1))

N=(2x+2)(-1)

N=-2x-2

f '(x)=(-2x-2)/ (x²+2x)²

f '(x) est du signe de : -2x-2

-2x-2 > 0 ===> x < -1

Tableau de variation :

x---->-inf.........-2.................-1..................0..................+inf

f '(x)->.......+................+.........0.......-...............-................

f(x)-->.......C......||.............C....0......D.......||......D........

C=flèche qui monte

D=flèche qui descend.

Tu indiques les limites.

5)

Graph joint.