Bonjour je n'arrive pas cet exercice de maths je suis en terminale

Réponse :

Bonjour, Il faut étudier ton cours sur les fonctions expo et ln. C'est une application du cours et des rappels de 4ème sur les puissances.

Explications étape par étape

ex4)  f(x)=4/(1+e^x) -2

1-a) f(-ln7)=4/(1+1/e^ln7)-2  or e^ln7=7

f(-ln7)=4/(1+1/7)-2=4*(7/8)-2=7/2-2=3/2

f(ln3)=4/(1+e^ln3)-2 or  e^ln3=3

f(ln3)=4/4-2=-1

1-b) f(x)=0   soit  4/(1+e^x)-2=0  ou 4/(1+e^x)=2 comme 1+e^x est tjrs >0 on fait un produit en croix

4=2(1+e^x)

1+e^x=2

e^x=1 donc x=0    f(x)=0   solution x=0 (voir courbe pour vérification)

2)Asymptotes f(x) étant définie et continue sur R si elle admet des asymptotes c'est en -oo et (ou)+oo

limites :

si x tend vers -oo, e^x tend vers 0 donc f(x) tend vers 4/1 -2=+2

si x tend vers+oo, e^x tend vers +oo f(x) tend vers 4/+oo-2=-2

les droites d'équation y=2 et y=-2 sont des asymptotes horizontales.

3-a) Dérivée f'(x)=-4e^x/(1+e^x)² rappel la dérivée de e^x est e^x et celle de u/v est (u'v-v'u)/v²

e^x étant >0 cette dérivée f'(x) est toujours >0 donc la fonction f(x) est décroissante.

tableau

x     -oo                  0                      +oo

f'(x)...............................-..........................

f(x) +2.........décroi...0.........décroi.....-2

4)Equation de la tangente au point d'abscisse x=ln3

formule y=f'(ln3)(x-ln3)+f(ln3)

calcule f'(ln3) puis remplace  développe et réduis.

ex5) f(x)=e^x+1/e^x

On peut remarquer que cette fonction est définie sur R et qu'elle est toujours >0

1) On détermine son comportement aux bornes du Df . C'est à dire les limites en - et+oo

si tend vers -oo, e^x tend vers 0+ donc

f(x) tend vers (0+) + 1/(0+)=0+(+oo)=+oo

si x tend vers+oo f(x) tend vers +oo+1/(+oo)=+oo+0=+oo

2)Dérivée  f'(x)=e^x-(e^x)/(e^x)²=e^x-1/e^x=[(e^x)-1]/e^x

Cette dérivée est du signe de e^x -1  

f'(x)=0 pour e^x =1  soit x=0

calculons f(0)=e^0+1/e^0=1+1=2

Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x        -oo                         0                                    +oo

f'(x)  ...................-...................0...................+....................

f(x)   +oo.........décroi...........+2...............croi...............+oo

3) e^x+1/e^x =e^x+e^(-x)  (rappel de 4ème sur les puissances)

Avec le tableau de variations ci dessus on note que e^x+e^(-x) est toujours > ou = 2