Mathématiques

Question

Bonsoir , il me reste un exercice pour mon dm de math que je dois rendre pour demain :

Exercice :

Un placard à la forme d’un parallélépipède rectangle. Pour des raisons pratiques, si sa largeur et x, sa profondeur et 12 - x et la hauteur est égal à la profondeur. On suppose x appartient [0;12] (les dimensions sont exprimées en dm).

1. Déterminer le volume V(x) en dm^3 de ce placard

2. Calculer V’(x) pour tout x appartient [0;12].

3.Vérifie que 4 et 12 sont racine du polynôme 3x^2-48x+144. En déduire une factorisation de V’(x) puis le signe de V’(x).

4. Déterminer les variations de la fonction V

5. Quelle dimension doit-t-on choisir pour le placard à fin d’obtenir un volume maximal ?

Merci d’avance pour vos réponses
Bonsoir , il me reste un exercice pour mon dm de math que je dois rendre pour demain : Exercice : Un placard à la forme d’un parallélépipède rectangle. Pour des

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1 Réponse

  • bjr

    1)  x ⋲ [0 ; 12]

    les trois dimensions du placard sont : x ; 12 -x ; 12-x (en dm)

    son volume est :

    V(x) = x(12 - x)(12 - x) = x(12 - x)²   (en dm³)

    V(x) = x ( 144 - 24x + x²)

    V(x) = x³ - 24x² + 144x

    2)

    V'(x) = 3x² - 2*24x + 144

           = 3x² - 48x + 144

    3)

    on calcule V'(4) et V'(12)

    V'(4) = 3*16 -48*4 + 144 = 0

    V'(12) = 3*144 - 48*12 + 144 = 0

    4 et 12 sont racines du trinôme 3x² - 48x + 144

    propriété :

    si un trinôme ax² + bx + c a deux racines x1 et x2  

    il admet comme factorisation     a(x - x1)(x - x2)

    d'où

    3x² - 48x + 144 = 3(x - 4)(x - 12)

    x            0                 4                     12

    x - 4              -           0          +

    x - 12            -                         -          0

    V'(x)              +           0           -          0

    V(x)        0      /        256        ∖          0

    le volume est maximum quand x vaut 4

    les dimensions du placard sont alors 4 ; 8 ; 8  (dm)

    et l'aire 256 dm³

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