O est le centre du cercle inscrit dans un triangle ABC. L'angle BOC mesure 115°. Quelle est la mesure de l'angle BAC ? Expliquer Besoin d'aide !!

Bonsoir,

La somme des mesures des angles d'un triangle vaut 180°.
Dans le triangle BOC, 

[tex]\widehat{OBC}+\widehat{OCB}+\widehat{BOC}=180^o\\\\\widehat{OBC}+\widehat{OCB}+115^o=180^o\\\\\widehat{OBC}+\widehat{OCB}=180^o-115^o\\\\\widehat{OBC}+\widehat{OCB}=65^o[/tex]


Le centre du cercle inscrit dans un triangle est le point d'intersection des trois bissectrices des angles de ce triangle.
==> (BO) est bissectrice de l'angle OBC
D'où   [tex]\widehat{ABC}=2\widehat{OBC}[/tex]

(CO) est bissectrice de l'angle OCB
D'où   [tex]\widehat{ACB}=2\widehat{OCB}[/tex]

On en déduit que [tex]\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2\widehat{OCB}+2\widehat{OCB}\\\\\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2(\widehat{OCB}+\widehat{OCB})\\\\\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2\times65^o\\\\\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=130^o[/tex]

Dans le triangle ABC, 

[tex]\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^o\\\\130^o+\widehat{BAC}=180^o\\\\\widehat{BAC}=180^o-130^o\\\\\widehat{BAC}=50^o[/tex]