Pour le trapèze ci contre , on donne AM = 2√2 - 1 ; BM = √8 + 1 et MD = √98 L'unité est le centimetre Exprimer sous la forme de a+b√2 avec a et b entiers le pér

Bonjour,

Calculs préliminaires :

[tex]\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=\sqrt{4}\times\sqrt{2}=2\sqrt{2}\\\\\sqrt{98}=\sqrt{49\times2}\sqrt{49}\times\sqrt{2}=7\sqrt{2}[/tex]

Grande base du trapèze = AD
                                        = AM + MD
                                        = (2√2-1) + √98
                                        = 2√2-1 + 7√2
                                        = 9√2-1
Petite base du trapèze = BC
                                     = MN
                                     = MD - ND
                                     = MD - AM
                                     = √98 - (2√2 - 1)
                                     = 7√2 - 2√2 + 1
                                     = 5√2 + 1

Hauteur du trapèze = BM
                               = √8 + 1 
                               = 2√2 + 1 

Calcul de AB.

Dans le triangle rectangle AMB, par Pythagore, 
AB² = AM² + MB²
       = (2√2 - 1)² + (√8 + 1)²
       = (2√2)² - 2*2√2*1 + 1² + (√8)² + 2*√8*1 + 1²
       = 4*2 - 4√2 + 1 + 8 + 2√8 + 1
       =  8 - 4√2 + 1 + 8 + 2√8 + 1
       =  18 - 4√2 + 2√8
       =  18 - 4√2 + 2*2√2
       =  18 - 4√2 + 4√2
       =  18
AB = √18
      = √(9*2)
      = √9 * √2
      = 3√2

Périmètre du trapèze = AD + BC + AB = CD
                                  = (9√2 - 1) + (5√2 + 1) + 3√2 + 3√2
                                  = 9√2 - 1 + 5√2 + 1 + 3√2 + 3√2                                  
                                  = 20√2 
Le périmètre du trapèze est égal à 20√2 cm

Aire du trapèze = (1/2) * (grande base + petite base) * hauteur
                         = (1/2) * (AD + BC) * BM
                         = (1/2) * (9√2 -1 + 5√2 + 1) * (√8 + 1)
                         = (1/2) * (14√2) * (2√2 + 1)
                         = 7√2 * (2√2 + 1)
                         = 7√2 * 2√2 + 7√2*1
                         = 14 * 2 + 7√2
                         = 28 + 7√2

L'aire du trapèze est égale à 28 + 7√2 cm².