Bonjour, pouvez vous m'aider s'il vous plaît à faire ce exercice, c'est important car demain matin j'ai un contrôle. Merci

Réponse :

La réponse en fichier joint

Bonne journée

Explications étape par étape

Réponse :

1) a) pour tout nombre réel h non nul, établir l'égalité

[f(1+h) - f(1)]/h = (5 h + 10)/(2 h² + 4 h + 4)

f(1+h) = (3(1+h)² - 2)/((1+h)² + 1) = (3(1+2 h + h²) - 2)/(1+2 h + h² + 1)

        = ((3 + 6 h + 3 h²) - 2)/(h² + 2 h + 2)

        = (3 h² + 6 h + 1)/(h² + 2 h + 2)

[f(1+h) - f(1)]/h = [(3 h² + 6 h + 1)/(h² + 2 h + 2)] - 1/2)/h

             = 2((3 h² + 6 h + 1)/2(h² + 2 h + 2) - (h² + 2 h + 2)]/2 h(h² + 2 h + 2)

       = (6 h² + 12 h + 2 - h² - 2 h - 2)/2 h(h² + 2 h + 2)

       = (5 h² + 10 h)/2 h(h² + 2 h + 2)

       = h(5 h + 10)/h(2 h² + 4 h + 4)

       =  (5 h + 10)/(2 h² + 4 h + 4)

   b) en déduire la valeur du nombre dérivée f '(1) de la fonction f en 1

        f '(1) = lim (f(1+h) - f(1))/h = lim (5 h + 10)/(2 h² + 4 h + 4) = 10/4 = 5/2

                  h→0                        h→0

2) a) déterminer l'équation de la tangente (T) à la courbe Cf au point d'abscisse 1

l'équation de la tangente s'écrit:  y = f(1) + f '(1)(x - 1)

f(1) = 1/2    donc  y = 1/2 + 5/2(x - 1) = 1/2 + 5/2) x - 5/2 = 5/2) x - 2

l'équation de la tangente (T) est:  y = (5/2) x - 2

   b) tracer la tangente (T) dans le repère

       la tangente (T) passe par les 3 points suivants

   (0 ; - 2)  ; (4/5 ; 0) et (T) est tangente au point d'abscisse 1 et d'ordonnée 1/2

3) déterminer les coordonnées des différents points d'intersection de (T) et de Cf

        on écrit :   (3 x² - 2)/(x² + 1) = 5/2) x - 2

⇔  (3 x² - 2)/(x² + 1) - (5/2) x - 2) = 0

⇔ (3 x² - 2)/(x² + 1) - (5/2) x - 2)(x²+1)/(x²+1) = 0

⇔ [3 x² - 2 - ((5/2) x - 2)(x² + 1)]/(x²+1) = 0

⇔ [3 x² - 2 - ((5/2) x - 2)(x² + 1)] = 0

⇔ [3 x² - 2 - ((5/2) x³ + [(5/2) x - 2 x² - 2)]

⇔ 3 x² - 2 - (5/2) x³ - (5/2) x + 2 x² + 2 = 0

⇔ - 5/2) x³ + 5 x² - (5/2) x = 0

⇔ -5/2) x( x² - 2 x + 1) = 0  ⇔ - 5/2) x = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = - 2    ⇒ (0 ; - 2)

x² - 2 x + 1 = (x - 1)² = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1/2  ⇒ (1 ; 1/2)

Explications étape par étape