Bonjour si quelqu'un peux m'aider a faire l'exercice 4 de la photo ca m'aiderait beaucoup svp.

Réponse :

ex4

1) démontrer que  2 q² = p²  et en déduire que p² est pair

 on suppose que √2 est rationnel  donc  √2 = p/q ⇔ (√2)² = (p/q)²

⇔ 2 = p²/q² ⇔ p² = 2 q²  donc p² est pair

2)  démontrer que p est pair

puisque p² est pair donc p est forcément pair donc il existe un nombre p' tel que p = 2 p'  

3)  puisque p est pair donc il existe un nombre p' tel que p = 2 p'

donc p² = 4 p'²  or p² = 2 q²  donc 2 q² = 4 p'² donc q² = 2 p'²

donc q est pair  donc il existe un nombre q' tel que q = 2 q'

donc la fraction p/q = 2 p'/2 q'  n'est pas irréductible

4) conclure

puisque la fraction p/q = 2 p'/2 q' n'est pas irréductible, ce qui contredit l'hypothèse de départ qui était que √2 est rationnel

en conclusion  donc  √2 est irrationnel

Explications étape par étape