Bonjour, j'ai besoin d'aide pour ces deux exercices pouvez vous m'aider, je vous remercie par avance. ​

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape

Exo 85 :

1)

f(x) n'est pas définie pour x+1=0 soit x=-1.

lim -5/(x+1)=+inf car numé et déno tous deux < 0.

x--->-1

x < -1

Donc :

lim f(x)=+inf quand x tend vers -1 avec x < -1.

lim -5/(x+1)=-inf car numé <0 et déno  > 0

x--->-1

x > -1

Donc :

lim f(x)=-inf quand x tend vers -1 avec x > -1.

La droite x=-1 est asymptote verticale à Cf.

f(x)-3=- 5/(x+1)

lim -5/(x+1)=0

x---->+ ou -inf

Donc :

lim f(x)-3=0

x-->+ ou -inf

lim f(x)=3

x--->+ ou -inf

La droite y=3 est donc asymptote horizontale en -inf et +inf à Cf.

Position de Cf par rapport à cette asymptote :

Il faut le signe de :

f(x)-3=-5/(x+1)

Si x+1 < 0 soit x < -1, alors : -5/(x+1) > 0 car numé et déno tous deux < 0.

Donc sur ]-inf;-1[ , f(x)-3 > 0 . Donc f(x) > 3 .

Donc sur ]-inf;-1[ , Cf est au-dessus de son asymptote horizontale.

Et :

Sur ]-1;+inf[ , Cf est au-dessous de son asymptote horizontale.

2)

La dérivée de 1/u est : -u'/u².

Ici : u=x+1 donc u '=1

f '(x)=5/(x+1)² qui est toujours positive sur Df.

Tu fais un tableau de variation avec f(x) toujours croissante , etc.

3)

Graph joint.

Exo 86 :

1)

Il faut vérifier que le déno ne s'annule pas donc que :

x²-2x+5 =0

n'a pas de solution.

Δ=b²-4ac=(-2)²-4*1*5=-16 < 0.

Pas de racines.

Donc f(x) définie sur IR.

2)

f(x)-(-3)=-3x²/(x²-2x+5)-(-3)=-3x²/(x²-2x+5) + 3

f(x)-(-3)=[-3x²+3(x²-2x+5)] / (x²-2x+5)

f(x)-(-3)=(-6x+15) / (x²-2x+5)

lim f(x)-(-3)=lim (-6x/x²)=lim (-6/x)=0

x---> -inf ou +inf

Qui prouve que la droite y=-3 est asymptote à Cf en -inf et +inf.

Position de Cf par rapport à y=-3 :

f(x)-(-3)=(-6x+15)/(x²-2x+5)

On a vu que : x²-2x+5 n'a pas de racines donc est toujours  > 0 car le coeff de x² est > 0.

Donc f(x)-(-3) est du signe de -6x+15.

Si -6x+15 > 0 soit: -6x >  -15 soit x < 15/6 , soit x < 5/2 , alors f(x)-(-3) > 0 qui donne:

f(x) > -3

(Quand on divise par "-6" , on change > en < . OK ? )

Donc : ]-inf;5/2] , Cf au-dessus de y=-3.

Et  sur : [5/2;+inf [ : Cf au-dessous de y=-3.

3)

f(x) est de la forme u/v.

u=-3x² donc u '=-6x

v=x²-2x+5 donc v '=2x-2

f '(x)=[-6x(x²-2x+5)+3x²(2x-2)] /(x²-2x+5)²

Tu développes le numé et tu trouves à la fin :

f '(x)=6x(x-5) / (x²-2x+5)²

f '(x) est donc du signe de 6x(x-5) , binôme du second degré qui est < 0 entre ses racines( car le coeff de x² > 0) , racines qui  qui sont x=0 et x=5.

Tableau :

x----->-inf......................0.............................5..........................+inf

f '(x)--->..............+..........0...........-................0.............+.............

f(x)---->-3+.........C...........0.........D...........-3.75........C...........-3-

C=flèche qui monte.

D=flèche qui descend.

Voir graph