Bonjour, j'ai répondu à la question 1 et 2 mais pour le reste je n'y arrive pas, pouvez vous maidez svp

Réponse :

3) montrer que pour tout entier naturel  n ≥ 1 ,  Un+1/Un = (n+1)/2n

Un+1/Un = (n+1)/2ⁿ⁺¹/n/2ⁿ = (n+1)*2ⁿ/2ⁿ⁺¹ * n  = (n + 1) x 2ⁿ/(2ⁿ x 2 x n)

              = (n+1)/2n

4) en déduire que pour tout entier naturel n ≥ 1   Un+1/Un ≤ 1

  on a;  n ≥ 1  ⇔ n + 1 ≥ 2  ⇔ (n + 1)/2n ≥ 2/2n  ⇔ (n + 1)/2 n ≥ 1/n

or  n ≥ 1 ⇒ 1/n ≤ 1   donc    1/n ≤  (n+1)/2 n ≤ 1

Donc  Un+1/Un ≤ 1

Donc  vérifiant que Un+1/Un ≤ 1

pour n = 1  ⇒ Un+1/Un = 2/2 = 1

        n = 2 ⇒ Un+1/Un = 3/4

        n = 3 ⇒ Un+1/Un = 2/3

Donc on a bien  Un+1/Un ≤ 1

5) que peut-on dire des variations de la suite (Un)

puisque la suite (Un) a des termes positifs donc on compare Un+1/Un par rapport à 1

et comme Un+1/Un ≤ 1  donc la suite (Un) est décroissante sur N

6) en utilisant la calculatrice déterminer le rang n à partir duquel  Un < 0.1

    Un = n/2ⁿ < 0.1

  n = 1 ⇒ U1 = 1/2 = 0.5

  n = 2 ⇒ U2 = 2/4 = 0.5

  n = 3 ⇒ U3 = 3/2³ = 0.375

  n = 4 ⇒ U4 = 4/2⁴ = 0.25

  n = 5 ⇒  U5 = 5/2⁵ = 0.15625

  n = 6 ⇒ U6 = 6/2⁶ = 0.09375

        U6 = 0.09375 < 0.1   le rang n = 6

Explications étape par étape